Unfolding of Detector Smearing and QED Radiative Effects

Page maintainer: Francesca

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Intro

Measured distributions involve effects from higher-order QED radiative corrections and detector smearing. An unfolding method is applied in order to correct for kinematic event migration between bins.

Detector Smearing

Due to multiple scattering of the particles emerging from the physics process, the kinematic variables of the event may be reconstructed in adjacent bins at higher or lower values with respect to the true values. Particle interactions in the detector put a physical limit to the detector resolution. The detector resolution is simulated by a detailed Monte Carlo model involving all relevant detector materials. The size of a bin should obviously not be smaller than the actual detector resolution, otherwise the large fraction of migrating events would cause artificially large inflated uncertainties.

Four radiative QED processes

QED radiative corrections

The four QED processes that contribute to the radiative corrections are illustrated in this figure: Initial and final state radiation as well as vacuum polarization and vertex correction. The photon radiation of the incoming (initial state radiation) and outgoing (final state radiation) leptons results in a difference between the apparent kinematic variables reconstructed from the incoming and outgoing leptons and those at the virtual-photon lepton vertex. Due to the emission of photons the apparent kinematic variables differ from the values on Born level such that not only events from processes under study may pass all the analysis criteria but also events from other processes, e.g. radiative (quasi-)elastic processes in a DIS event sample.

The unfolding formalism for unpolarised data sample

If the event sample is binned in the kinematic variable x (here x can be considered as a single variable or a short notation for more than one variable in a multidimensional analysis), let Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X=(X(1),...,X(n_b))} be the vector of measured yields in the Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle n_{b}} x-bins, so that the total number of events is Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X_{tot}=\sum _i^{n_b}X(i)} . Due to instrumental and radiative smearing, each event is characterized by two quantities: the measured kinematics x and the Born kinematics x'. As a consequence of the finite bin size, the observed bin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} corresponding to the measured x may differ from the original bin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} corresponding to the Born kinematics x'.

The migration of events between bins due to detector smearing as well as radiative corrections is simulated by a Monte Carlo in order to extract a Migration matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(i,j)} , where $n(i,j)$ is the number of events generated in the Born-bin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j} that are measured in the bin Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle i} due to kinematical smearing. The migration matrix is a Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_b \times (n_b+1)} matrix, where the additional column Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(i,0)} contains the background events that fall in the measured bin Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle i} from outside the acceptance.

In the unfolding procedure is also needed the definition of the Born vector Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n^B(j)=(n^B(1),...,n^B(n_b))} that contains all the generated events in Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\pi} and that does not include radiative contributions. This vector is not available from the same Monte Carlo simulation, as all the events whose smeared kinematics is outside acceptance are missing. Additionally, radiative effects do not conserve the total DIS cross section. Therefore it should be determined with the use of a statistically independent Monte Carlo simulation with both radiative and instrumental effects switched off. For clearness this Monte Carlo will be called now on the Born Monte Carlo.

With the Born distribution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n^B(j)} , it is possible to define the conditional probability that an event with born kinematics x' is observed with measured kinematics x:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(i,j)\equiv\frac{n(i,j)}{n^B(j)}}

and Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle S(i,j)} is called the Smearing matrix. The background column Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle j=0} can be extracted from the matrix in order to have a square matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S'(i,j)} , called the truncated Smearing matrix, and a vector Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(i,0)=n(i,0)/n^B(0)} describing the background contributions.

The truncated smearing matrix only depends on the detector and radiative simulations, which are well known, and, being a relative quantity, is independent on the Monte Carlo model (strictly true if the finite bin size is neglected). On the contrary, the background vector Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(i,0)} strongly depend on the Monte Carlo model for the background.

Fundamental ingredients to apply an unfolding correction:

- $X(i)=(X(1),...,X(n_{b}))\rightarrow$ Measured yield vector;
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n(i,j)\rightarrow}
 migration matrix (Monte Carlo);
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_B(j)\rightarrow}
 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle 4\pi}
 yield vector (Born Monte Carlo)
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(i,j)=n(i,j)/n_B(j)\rightarrow}
 Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle (n_{b}\times (n_{b}+1))}
 Smearing matrix;
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S'(i,j)\rightarrow}
 Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle (n_b \times n_b)}
 Truncated Smearing matrix;
- Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S(i,0)\rightarrow}
 Background yield vector.
 

Normalization

All the quantities listed above should be normalized.

In particular:

- to normalize MC: normalizing the two MC productions (reconstructed and born) to each other via IEVGEN can only be done if both productions were run with the same generator settings and no selector. The safest thing to do is to normalize them both to cross section level, see Normalizing MC page for details.

- to normalize Data: see Cross section (data) page.

Here all vectors and matrices are treated as they were already normalized.

The procedure

If Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(j)=(B(1),...,B(n_b))} is the correct, unknown born distribution of the measured yields, it is related to the measured distribution Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle X(i)} by:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(i)=\sum_{j=1}^{n_b} S'(i,j)B(j)+S(i,0)n^B(0)= }

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sum_{j=1}^{n_b} S'(i,j)B(j)+n(i,0)}

If the square matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle S'(i,j)} is not singular, it can be inverted in order to access the born distribution:

                   Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(j)=\sum_{i=1}^{n_b} S'^{-1}(j,i)[X(i)-n(i,0)]}
     Unfolded yield distribution

Schematic view of unfolding radiative/acceptance procedure

Error propagation

The final covariance matrix on the unfolded yield, $U_{B}$ can be separated into the contribution from the measured yield and the contribution from the smearing matrix,

  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle  U_B = U_{B,X} + U_{B,S} }

( Steve comment: I think that all Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta^2} should be rewritten as Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \sigma^2} in the next sections. Any complaints against this? )

Contribution from measured yield

The contribution to the covariance matrix for the Born distribution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(j)} propagated from the uncertainty on the measured yield is, in matrix notation,

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle U_{B,X}=S'^{-1}V(S'^{-1})^{T}}

where Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} is the covariance matrix of the measured yields, and, as they are independent Poisson variables, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} is diagonal and Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V(k,k)=\delta^2X(k)=X(k)} , therefore:

                  Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{B,X}(i,j)=\sum_k^{n_b}S'^{-1}(i,k)X(k)S'^{-1}(j,k)}
  Contribution to covariance matrix due to uncertainty of measured yield

The corresponding uncertainties can be written in terms of the dilution matrix $D(i,j)\equiv {\frac {\partial B(j)}{\partial X(i)}}$:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta^2_X B(i)=U_{B,X}(i,i)=\sum_k^{n_b}D^2(i,k)\delta^2X(k).}

With the unfolding procedure the unknown systematic uncertainties due to kinematic smearing are removed, but the price is that the kinematic bins are statistically correlated, therefore the statistical errors are inflated, as shown in the last equation.

Contribution from smearing matrix

The contribution Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{B,A} } from the smearing matrix can be propagated analytically, as

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_{B,S}(i,j) = \sum_{a,b} \frac{\partial B(i)}{ \partial S(a,b) } \delta^2 S(a,b) \frac{\partial B(j)}{ \partial S(a,b) } = \sum_{a,b} S^{\prime -1}(i,a) B(b)^2 \delta^2 S(a,b) S^{\prime -1}(j,a)}

In the case of histograms and using the Poisson uncertainty assumption, Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \delta^2 S(a,b) = S(a,b) } , and this reduces to

                  Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle U_{B,S}(i,j)=\sum _{a,b}S^{\prime -1}(i,a)B(b)^{2}S(a,b)S^{\prime -1}(j,a)}
   Contribution to covariance matrix due to uncertainty of smearing matrix

This method is described in detail in Rebecca's thesis, Section 4.4.1 (pages 55-56) and Section 4.4.3 (page 59).

Historically, a numerical approach has also been used: the results are unfolded Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} times with Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} smearing matrices constructed by randomly varying each matrix element according to a Poisson distribution with rms equal to the rms of the unfolded results. The result spectra in each bin should have a Poisson-like shape (more Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} is big more the shapes would be Poisson-like), and their standard deviation could be added to the statistical uncertainties. The analytic and numeric methods yield equivalent results, provided Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle N} is large enough, although the analytic method is much faster to compute is is not subject to properly choosing the parameter $N$.

Fitting

After the unfolding procedure the corrected yield Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(j)} are statistically correlated, and the covariance matrix Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle U_B(i,j)} is not diagonal. This can result in a complication of the standard procedures of extracting the results.

For instance if a fit of the unfolded results Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle B(j)} is needed in the least squares method the Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi^2} should be defined with the general formula (see Least Squares Fit page):

                        Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \chi ^{2}=(B-f(p))^{T}U_{B}^{-1}(B-f(p))}

where Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(p)} is the fit function and Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p} is the Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_p} -dimensional parameters vector.

If Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle f(p)} is linear, i.e.

Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle f(p)={\mathbf {A}}p} ,

and

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi^2=(B-{\bold A}p)^TU_B^{-1}(B-{\bold A}p)} ,

a linear regression can be performed (see The linear regression) to extract the vector of the parameters:

                         Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=({\bold A}^TU_B^{-1}{\bold A})^{-1}{\bold A}^TU_B^{-1}B}

and its covariance matrix:

                         Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle C_p=({\bold A}^TU_B^{-1}{\bold A})^{-1}}

Alternative procedure

Since the smearing matrix could be hard to invert, especially in a multidimensional analysis with a high number of bins, if the data in the end need to be fit, a new procedure can be used that includes both the unfolding and the fitting in one step. Starting again from the relation between the measured Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(i)} and the Born $B(j)$ distribution:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X(i)=\sum_{j=1}^{n_b} S'(i,j)B(j)+n(i,0)} ,

we can define the measured yields corrected for the background as Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X'(i)\equiv X(i)-n(i,0)} , so that in matrix form:

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle X'\equiv S'B}

Using the same formalism of the previous paragraph (Fitting), we can define the Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi^2} as follows:

                            $\chi ^{2}=(X'-S'{\mathbf {A}}p)^{T}V^{-1}(X'-S'{\mathbf {A}}p)$

where Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle V} is the measured yield covariance matrix (diagonal).

So here we compare the measured data (after background subtraction) to the "smeared" fit values to get a Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi^2} . Again, minimizing the Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle \chi^2} we find for the parameters:

                         Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle p=({\bold A}^TS'^TV^{-1}S'{\bold A})^{-1}{\bold A}^TS'^TV^{-1}X'}

and its covariance matrix:

                         Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle C_{p}=({\mathbf {A}}^{T}S'^{T}V^{-1}S'{\mathbf {A}})^{-1}}

Advantages

• Only one step is needed instead of two: unfolding and fitting are performed at the same time;
• The covariance matrix to be inverted here is the one before the unfolding, so it is diagonal;
• There is only the non-trivial inversion of the matrix

Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle {\bold A}^TS'^TV^{-1}S'{\bold A}}

whose dimension is related to the number of parameters (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_p} ) instead of the number of bins (Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_b} )

Therefore this procedure is more convenient than the previous one if Fehler beim Parsen (MathML mit SVG- oder PNG-Rückgriff (empfohlen für moderne Browser und Barrierefreiheitswerkzeuge): Ungültige Antwort („Math extension cannot connect to Restbase.“) von Server „https://wikimedia.org/api/rest_v1/“:): {\displaystyle n_p<n_b} (For instance in a multidimensional analysis).

Links

Here a list of documents to know more about: (Question by Caro: 1. what do you mean by polarized and unpolarized unfolding; 2. also in e.g. Andy's note the smearing matrices are spin-dependent) Answers: 1. Caro you're right it was misleading, I changed '(un)polarized unfolding' with 'Unfolding for (un)polarized event samples' , I guess is more clear now? 2. right again :), I moved it. (Steve's comment: I add unfolding yields/pdfs to unpolarized, since the methods used to unfold unpolarized data can be applied separately to each polarized state, i.e. Josh's plan.)

• Unfolding for unpolarized event samples or for unfolding yields/pdfs:
  • Fehler beim Parsen (Konvertierungsfehler. Der Server („https://wikimedia.org/api/rest_“) hat berichtet: „Cannot get mml. Server problem.“): {\displaystyle \Delta Q} paper
  • Unbinned unfolding:
    • Steve's report [Methods are a little outdated, but most extensive (wordy) explanation]
    • Talk and proceedings by Steve with final summary of KDE methods [terse, but most up to date]

• Unfolding for polarized event samples:
  • Andy's note
  • g1 Long paper (appendix A)
  • Simplified 4x4 unfolding example from Caro's PhD (neglecting smearing into the acceptance from outside), p.128/129

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• G1/b1
• Radiative Corrections on the main Monte Carlo page